Differential Equations

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개요

미분된 함수가 포함된 방정식에서 해법을 찾는 방법을 가르치는 과목이다. 2학년 과목이지만 2학년에 듣는 상당수의 전공과목이 미분방정식을 기본으로 깔고 들어가고, 굳이 미적분학 2를 이수하지 않아도 알아들을 수 있는 과목이므로 1학년 때 미리 듣는 것도 나쁘지 않다. 다만 후반부 내용이 응선대를 깔고 들어가므로 응선대와 같이 듣거나 응선대를 먼저 이수하고 난 후 들으면 비교적 쉽게 느껴진다. 이공계열만 듣는 과목이지만, 이공계열이라도 커리큘럼응선대통계학을 들으면 미방은 안 들어도 된다! 하지만 몇몇을 제외한 대부분의 학과 전공과목에서 미방을 필요로 하므로 미방을 듣지 않는 건 결국 과목 하나 분량의 공부를 더 해야 한다는 말과 같다. 이공계열은 학부에 따라 수학과목 3개중 선택지가 제한된다. 주로 미방이 필요한 학과의 경우 당연히 미방이 필수로 지정되어 있다. 자세한 내용은 기초수학필수 문서 참고.

강의 방식

강의실에서의 강의와 와일리로 이루어진다. 한 학기에 두 번 퀴즈와 시험을 본다. 온갖 복잡한 함수식이 나오는 와일리가 일품. 계산기는 강의실에서야 크게 필요하지는 않지만 와일리 풀 때는 있으면 좋고, 시험 칠 때는 들고갈 수 있으..면 좋겠지만 들고가지 못한다. 뭐라고요!? 시험에 계산기를 쓰지 못한다, 이 말이오!? 특히 후반부의 응선대 부분이 나오는 행렬계산은 계산기한테 맡기는 게 여러모로 편하다! 손계산으로 풀다 한 문제 십몇분 씩 날려가며 오답을 도출해내는 짓거리를 3번 반복해서 와일리를 틀려보면 매우 빡친다..계산기 쓰면 계산실수 안할 것같지?

과목 내용[1]

Introduction

어떤 미분방정식의 해의 그래프 모양, 특정한 미분방정식

dy/dt = ay - b

의 일반해를 구하는 방법, 미분방정식의 차수개념, 미분방정식의 선형과 비선형 개념 등에 대해 다룬다. 참고로 위의 미분방정식의 일반해를 구하는 방법은 다음과 같다.

dt/dy = ay - b
dt/dy = a(y - b/a)
(dt/dy)/(y - b/a) = a
∴ ln |y - b/a| = at + C, C는 적분상수
|y - b/a| = eat + C
∴ y - b/a = ± ceat, c = eC
∴ y = b/a ± ceat


그리고 미분방정식의 차수와 선형, 비선형 개념은 다음과 같다.


* 차수(Order): 미분방정식에 나타는 가장 높은 미분횟수, 예를 들자면

y'' + y' + 3y = 2t + 5

이 식의 차수는 2이고

y(6) - ty''' - 32y'' = 235t3 ln t + 6  (y(6)는 y를 6번 미분한 식을 나타내는 기호)

이 식의 차수는 6이다.

* 선형방정식(Linear Equation): 서로 선형인 변수들, 이를테면 y, y', ... y(n)들로만 구성된 방정식. 선형에 대한 자세한 설명은 '응용선형대수'를 참고하자. 아래는 선형(미분)방정식의 기본형이다.

a0(t) y(n) + a1(t) y(n-1) + ... an(t) y = g(t)


* 비선형방정식(Nonlinear Equation): 선형방정식이 아닌 방정식.
일반적으로 비선형방정식의 풀이는 굉장히 난해하지만, 이 단원에서는 아주아주 간단한 형태의 비선형방정식의 해를 찾는 방법을 배운다.
전반적으로 크게 어려운 부분이 아니고, dy/dt = ay - b 를 적당히 변형하면 y = b/a ± ceat 가 된다는 것만 알아두면 된다.


First Order Differential Equations

Second Order Linear Equations

Higher Order Linear Equations

Series Solutions of Second Order Linear Equations

The Laplace Transform

Systems of First Order Linear Equations

Numerical Methods

Nonlinear Differential Equations and Stability

Partial Differential Equations and Fourier Series

Boundary Value Problems and Sturm-Liouville Theory

같이 보기


주석

  1. 이 항목은 William E. B., Richard C. D.의 ELEMENTARY DIFFERNTIAL EQUATIONS and BOUNDARY VALUE PROBLEMS 10판을 기준으로 작성되었습니다.